Физический энциклопедический словарь - теория тяготения эйнштейна.

отсчёта, то в любой конечной области пространство-время окажется искривлённым — неевклидовым. Это означает, что в трёхмерном пр-ве геометрия, вообще говоря, будет неевклидовой (сумма углов треугольника не равна я, отношение длины окружности к радиусу не равно 2я и т. д.), а время в разных точках будет течь по-разному. Т. о., согласно теории тяготения Эйнштейна, истинное гравитац. поле есть проявление искривления (отличия геометрии от евклидовой) четырёхмерного пространства-времени.

Следует подчеркнуть, что создание теории тяготения Эйнштейна стало возможным только после открытия неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским, венг. математиком Я. Больяй, нем. математиками К. Гауссом и Б. Риманом.

В отсутствии Т. в пространстве-времени спец. теории относительности движение тела по инерции изображается прямой линией, или, на матем. языке, экстремальной (геодезической) линией. Осн. идея эйнштейновской теории Т. заключается в том, что и в поле Т. все тела движутся по геодезич. линиям в пространстве-времени, к-рое, однако, искривлено, и, следовательно, геодезич. линии — не прямые. Наблюдатель воспринимает это движение как движение по искривлённым траекториям в трёхмерном пространстве-времени с перем. скоростью. В заданном поле Т. все тела независимо от их массы и состава при одинаковых начальных условиях будут двигаться по одним и тем же геодезич. линиям (т. е. совершенно одинаково). Поэтому изменение скорости любых тел, т. е. их ускорение, в данном гравитац. поле одинаково. Одинаковость ускорений тел любой массы означает строгую пропорциональность тяжёлой и инертной масс [см. ф-лу (6)], и эти массы неотличимы.

Кривизна пространства-времени создаётся источниками гравитац. поля. При этом Т., т. е. искривление пространства-времени, определяется не только массой в-ва, слагающего тело, но и всеми видами энергии, присутствующими в системе. Эта идея явилась обобщением на случай теории Т. принципа эквивалентности массы (т) и энергии (ξ) спец. теории относительности: ξ=mc². Согласно этой идее, Т. зависит не только от распределения масс в пр-ве, но и от их движения, от давления и натяжений, имеющихся в телах, от эл.-магн. поля и всех др. физ. полей.

Наконец, в теории тяготения Эйнштейна обобщается вывод спец. теории относительности о конечной скорости распространения всех видов вз-ствия. Согласно Эйнштейну, изменения гра-

773

витац. поля распространяются в вакууме со скоростью с.

Уравнения тяготения Эйнштейна. В спец. теории относительности в инерциальной системе отсчёта (и. с. о.) квадрат четырёхмерного «расстояния» в пространстве-времени (интервала ds) между двумя бесконечно близкими событиями записывается в виде:

ds² = (cdt)²-dx²-dy²-dz², (7)

где t — время, х, у, z — прямоугольные декартовы координаты. Эта система координат наз. галилеевой. Выражение (7) имеет вид, аналогичный выражению для квадрата расстояния в евклидовом трёхмерном пр-ве в декартовых координатах. Такое пространство-время называют плоским, евклидовым, или точнее, псевдоевклидовым, подчёркивая особый хар-р времени: в выражении (7) перед (cdt)² стоит знак «+», в отличие от знаков «-» перед квадратами дифференциалов пространств. координат. Т. о., спец. теория относительности явл. теорией физ. процессов в плоском пространстве-времени (Минкоеского пространстве-времени). Однако в нём не обязательно пользоваться декартовыми координатами, в к-рых интервал записывается в виде (7). Можно ввести любые криволинейные координаты. Тогда ds² будет выражаться через эти новые координаты общей квадратичной формой:

ds²=gikdxⁱdx^k (8)

(i, k=0, 1, 2, 3), где х¹, х², х³ — произвольные пространств. координаты, x⁰ — временная координата (здесь и далее по дважды встречающимся индексам производится суммирование). С физ. точки зрения переход к произвольным координатам означает и переход от и. с. о. к системе, вообще говоря, движущейся с ускорением (причём в общем случае разным в разных точках), деформирующейся и вращающейся, и использование в этой системе недекартовых координат (и произвольно идущих часов). Несмотря на кажущуюся сложность использования таких систем, практически они иногда оказываются удобными. Но в спец. теории относительности всегда можно пользоваться и галилеевой системой (7), в к-рой интервал записывается особенно просто [в этом случае в ф-ле (8) gik=0 при ik, g00=l. gii=-1 при i=1, 2, 3].

В ОТО пространство-время не плоское, а искривлённое. В таком пространстве-времени (в конечных, не малых областях) нельзя ввести декартовы координаты, и использование криволинейных координат становится неизбежным. В конечных областях искривлённого пространства-времени ds² записывается в криволинейных координатах в общем виде (8). Зная gik как ф-ции четырёх координат, можно определить все геом. св-ва пространства-времени. Говорят, что величины gik, определяют метрику пространства-времени, а совокупность всех gik называют метрическим тензором. С помощью gik вычисляются темп течения времени в разных точках системы отсчёта и расстояния между точками в трёхмерном пр-ве. Так, ф-ла для вычисления бесконечно малого интервала времени d по часам, покоящимся в системе отсчёта, имеет вид: d=(g00dx⁰/c). При наличии поля Т. величина g00 в разных точках разная, следовательно, темп течения времени зависит от поля Т. Оказывается, что чем сильнее поле, тем медленнее течёт время по сравнению с течением времени для наблюдателя вне поля.

Матем. аппаратом ОТО явл. тензорное исчисление; её законы записываются в произвольных криволинейных координатах (это означает, в частности, запись в произвольных системах отсчёта), как говорят, в ковариантном виде. Осн. задача теории Т.— определение гравитац. поля, что соответствует в ОТО нахождению геометрии пространства-времени. Эта последняя задача сводится к нахождению метрич. тензора gik.

Ур-ния тяготения Эйнштейна связывают величины gik с величинами, характеризующими материю, создающую поле: плотностью, потоками импульса и т. п. Эти ур-ния записываются в виде:

Rik-¹/2gikR=(8G/c⁴)Tik. (9)

Здесь Rik — т. н. тензор Риччи, выражающийся через gik, его первые и вторые производные по координатам; R=Rikg^ik (величины g^ik определяются из ур-ний gikg^km =^mi, где ^mi— символ Кронекера: ^mi=1 при i=m,^mi=0 при im); Тik — тензор энергии-импульса материи, компоненты к-рого выражаются через плотность, потоки импульса и др. величины, характеризующие материю и её движение (под физ. материей подразумевается обычное в-во и физ. поля).

Вскоре после создания ОТО Эйнштейн показал (1917), что существует возможность изменения ур-ний (9) с сохранением осн. принципов новой теории. Это изменение состоит в добавлении к правой части ур-ний (9) т. н. космологич. члена: gik. Постоянная Л наз. космологич. постоянной, имеет размерность см^-2. Целью этого усложнения теории была попытка Эйнштейна построить модель Вселенной, к-рая не изменяется со временем. Космологич. член можно рассматривать как величину, описывающую плотность энергии и давление (или натяжение) вакуума. Однако в сер. 20-х гг. А. А. Фридман показал, что ур-ния Эйнштейна без -члена

приводят к эволюционирующей (нестационарной) модели Вселенной, а амер. астроном Э. Хаббл открыл (1929) закон красного смещения для галактик, к-рое было истолковано как подтверждение этой модели. Идея Эйнштейна о статич. Вселенной оказалась неверной, и хотя уравнения с -членом тоже допускают нестационарные решения для модели Вселенной, необходимость в -члене отпала. Следует подчеркнуть, что пока нет наблюдат. эксперим. или теор. оснований считать  отличной от нуля. Во всяком случае, если 0, то согласно астрофиз. наблюдениям, её абс. величина чрезвычайно мала: ||<10^-55 см^-2. Она может играть роль только в космологии и практически не сказывается во всех др. задачах теории Т. Везде в дальнейшем будет положено Л=0.

Внешне ур-ния (9) подобны ур-нию (4) для ньютоновского потенциала. В обоих случаях слева стоят величины, характеризующие поле, а справа — величины, характеризующие материю, создающую поле. Однако ур-ния (9) имеют ряд существ. особенностей. Ур-ние (4) линейно и поэтому удовлетворяет принципу суперпозиции. Оно позволяет вычислить гравитац. потенциал  для любого распределения произвольно движущихся масс. Ньютоновское поле Т. не зависит от движения масс, поэтому ур-ние (4) не определяет их движение. Движение масс определяется из второго закона механики Ньютона (6). В ОТО ур-ния (9) нелинейны, не удовлетворяют принципу суперпозиции. В этой теории нельзя произвольным образом задать правую часть ур-ний (Тik), зависящую от движения материи, а затем вычислить гравитац. поле (gik). Решение ур-ний Эйнштейна приводит к совместному определению движения материи, создающей поле, и к вычислению самого поля. Существенно при этом, что ур-ния поля Т. содержат в себе и ур-ния движения масс в поле Т. С физ. точки зрения это соответствует тому, что в ОТО материя создаёт искривление пространства-времени, к-рое влияет на движение материи, создающей искривление.

В случае слабых гравитац. полей метрика пространства-времени мало отличается от евклидовой, и ур-ния Эйнштейна приближённо переходят в ур-ния (4) и (6) теории Ньютона (если рассматриваются движения, медленные по сравнению с с, и расстояния от источника поля много меньше, чем =c, где  — характерное время изменения положения тел в источнике поля). В этом случае можно ограничиться вычислением малых поправок к ур-ниям Ньютона. Эффекты, соответствующие этим поправкам, позволяют экспериментально проверить ОТО (см. ниже). Особенно существенны эффекты теории Эйнштейна в сильных гравитац. полях.

774

Ряд выводов ОТО качественно отличается от выводов ньютоновской теории Т. Важнейшие из них связаны с возникновением чёрных дыр, сингупярностей пространства-времени (мест, где формально, согласно теории, обрывается существование ч-ц и полей в обычной известной нам форме) и существованием гравитац. волн (гравитационного излучения).